Evrenimizin geometrisi nedir? - 1

Aklımız bize evrenin sonsuza kadar uzandığını söylemekte. Lakin geometrik bir inceleme ile “sıradan” sonsuz uzaylara alternatifler sunan çeşitli üç boyutlu cisimleri keşfedebiliriz. Yazının ilk bölümünde düzlemsel geometriyi inceleyeceğiz.
soL - Bilim ve Aydınlanma / Çeviri: Bahadır Batur
 
Çarşamba, 01 Nisan 2020 15:26
Aklımız bize evrenin sonsuza kadar uzandığını söylemekte. Lakin geometrik bir inceleme ile “sıradan” sonsuz uzaylara alternatifler sunan çeşitli üç boyutlu cisimleri keşfedebiliriz. Makale kısaca, üç farklı geometri üzerinden (düzlem, küresel ve hiperbolik geometri) basit modellerle gözlemleyebildiğimiz ve gözlemleyemediğimiz evrenin modellerini tartışmaktadır. Bu yazının değerli olduğu bir diğer nokta ise sadece evrenimizin geometrisi üzerine değil, farklı geometrilerin nitelikleri üzerine de açıklayıcı olmasıdır. Alt metninde ise son dönemlerde salgın bir hastalık gibi tekrar ortaya çıkan düz-dünyacıların savlarının geçersizliğini görebilirsiniz. Çevirisini sunduğumuz bu popüler bilim makalesi, Erica Klarreich ve Lucy Reading-Ikkanda tarafından Quanta Magazine’de 16 Mart 2020 tarihinde yayımlanmıştır, uzunluğundan dolayı yazıyı iki parça yayımlama kararı aldık. 

Gece gökyüzüne baktığımız vakit, uzay her yönden sonsuza dek uzanıyor gibi gözükmektedir. Bu bakış açısı bizim evrene dair zihinsel bir modellememizdir, ancak tamamen doğru değildir. Nihayetinde, herkesin Dünya’nın düz olduğunu düşündüğü bir zaman vardı, bunun nedeni gezegenimizin eğriliğinin (curvature) tespit edilemeyecek kadar küçük olması ve küre biçiminde bir dünyanın [o zaman için] anlaşılmazlığıdır. 

Bugün, Dünya’nın şeklinin bir küreye benzediğini biliyoruz. Fakat birçoğumuz evrenin şekli üzerine çok az düşünmekte. Küre biçiminde bir dünya, düz dünyanın bir alternatifi olduğu gibi diğer üç boyutlu şekiller de “sıradan” sonsuz uzayların alternatifi olabilir.

Evrenin şekli üzerine, ayrı gibi duran ama birbirleriyle ilişkili olan iki soru sorabiliriz. Bunlardan birisi geometri ile ilgili: açılar ve alanlar gibi yapıların incelikli yerel (local) ölçümleri. Diğeri soru ise topoloji ile alakalı: bu yerel (local) parçaların nasıl olup da kapsayıcı bir şekil içerisinde bir araya getirebileceği.

Kozmolojik kanıtlar evrenin görebildiğimiz kısmının, hemen hemen, pürüzsüz (smooth) ve homojen (homogeneous) olduğunu söylemektedir. Uzayın yerel dokusu (local fabric) da her noktada ve yönde benzer görünmekte. Sadece üç farklı geometri bu tanımlamaya uygun düşmektedir: düzlem geometrisi, küresel geometri ve hiperbolik geometri. Bu noktada, bazı topolojik sorgulamalarla birlikte, bu üç geometriye ve kosmolojik kanıtların hangi yapıların evrenimizi daha iyi tanımladığına bakalım.

DÜZLEM GEOMETRİSİ

Düzlem geometrisi, okullarda öğrendiğimiz geometridir. Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir [Şekil 1] ve dairenin alanı πr2’dir [r, dairenin yarıçapı – daire içerisinde çizilebilecek en uzun doğru parçasının yarısı]. Üç boyutlu düzleme örnek sıradan sonsuz uzaydır – matematikçiler bu yapıya Öklid uzayı (Euclidean space) demektedir – ancak dikkate alınması gereken başka düz şekiller de vardır.

Şekil 1. Öklid uzayı içerisinde bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.

Bu şekilleri görselleştirmek zor olmakla beraber, üç yerine iki boyut üzerinden düşünerek sezgisel olarak inşa edebiliriz. Alıştığımız Öklid uzayına ek olarak, düzlemin bazı parçalarını kesip kenarlarından ekleyerek başka düzlemsel şekiller oluşturabiliriz. Misal, dörtgen şeklinde bir kâğıt parçası kesip karşılıklı kenarlarından birleştirelim. Üst ve alt kenarlarını birleştirerek bir silindir oluşturabiliriz [Şekil 2]:

Şekil 2. Düzlemsel dörtgenin üst ve alt kenarlarını birleştirerek silindir elde ederiz.

Daha sonra, sağ ve sol kenarlarını birleştirerek bir simit (doughnut) oluşturabiliriz (matematikçiler bu şekle torus adını vermekte) [Şekil 3]:

Şekil 3. Silindirin kenarlarını birleştirerek torus (simit) elde edebiliriz.

Şimdi, “Bence, bu şekil düz değil.” diye düşünebilirsiniz. Evet, haklısınız… Düzlemsel torusun nasıl oluştuğunu tarif ederken küçük bir hile yaptık. Bir parça kâğıttan tarif ettiğimiz şekilde bir torus yapmaya çalıştığınızda zorluklarla karşılaşmış olabilirsiniz. Silindir yapmak kolay olabilir, lakin silindirin köşelerini birleştirmek işe yaramaz: Kâğıt torusun iç çemberi içeriye doğru bükülecek ve dış çemberi boyunca yeterince gerilmeyecektir. Kâğıt yerine daha esnek bir materyal kullanmanız gerekmekte. Ancak bu germe işlemi uzunluklar ve açıları bozacak, geometriyi değiştirecektir.

Sıradan üç boyutlu uzay içerisinde düzlem geometrisini bozmadan düz bir materyalden yapılan gerçek, pürüzsüz (smooth) fiziksel bir torus yapmanın bir yolu yoktur. Ancak düz bir torusun içerisinde yaşamanın nasıl bir şey olduğunu soyut olarak düşünebiliriz.

Yaşadığı evren düz bir torus olan iki boyutlu bir varlık olduğunuzu hayal edin. Bu evrenin geometrisi bir parça düz kâğıttan meydana geldiği için, tüm geometrik olgular alışılagelmiş yaşantınızla aynı olacaktır, en azından küçük ölçekte: Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir ve bunun gibi. Lakin evrensel topolojide kesip yapıştırarak yaptığımız değişiklikler torusta yaşama deneyiminin normalden farklı hissettirmesine yol açacaktır.

Yeni başlayanlarımız için, torus üzerinde devam eden ve başladığı yere dönen düz yollar vardır [Şekil 4]: 

Şekil 4. Torus üzerinde devam eden çemberleri, torusu açıp tekrar düz bir dörtgen haline getirdiğimizde düz çizgiler olarak görürüz.

Bu yollar bozulmuş torusumuz üzerinde kavisli görünür, ama düz torus sakinleri bunların düz olarak hissedeceklerdir. Işık, düz bir rotada ilerlediğinden dolayı bu yollardan birinden düz olarak baktığınızda kendi arkanızı görebilirsiniz [Şekil 5]:

Şekil 5. Torus üzerindeki bir gözlemcinin kendi arkasını görecek olması bu şekilde resmedilebilir.

Özgün kâğıt parçası üzerinde, gördüğümüz ışık kâğıdın sol tarafına çarpana kadar arka tarafınızdan hareket ediyormuş gibi görünür, sonra sağ tarafta tekrardan belirir, sanki bir bilgisayar oyunu oynuyormuşçasına [Şekil 6]:

Şekil 6. Animasyon: Torus üzerindeki görünümü tarif eder.

Bu düşünceye paralel olarak, eğer siz (ya da bir ışık parçası) dört kenardan birine hareket ederse, yeni bir “oda” gibi görünen aslında biraz önce bulunduğunuz odanın kendisine varırsınız, sadece yeni bir bakış yerdeymiş gibi hissedeceksiniz. Bu evrende dolaşırken asıl odanızın sonsuz uzunlukta bir kopya dizisinden geçeceksiniz [Şekil 7].

Şekil 7.  Animasyon: Torus üzerinde düz bir yörüngede hareket eden ışık parçacığı, gerçekte birbirinin aynısı olan sonsuz sayıda odadan geçecektir. 

Ayrıca bu durum farklı yönlerden bakarak kendinizin sonsuz sayıda kopyasını görebileceğiniz anlamına gelmektedir [Şekil 8]. Bu bir ayna yansıması efektidir, tek fark kopyalarınızın yansıma olmamasıdır:

Şekil 8.  Animasyon: Torus üzerindeki ayna yansıması etkisi.

Simit üzerinde, ışığın sizden çıkıp size geri döneceği farklı döngülere karşı gelmektedir [Şekil 9]:

Şekil 9. Torus üzerinde sizden çıkıp size geri dönecek döngülere örnekler.

Benzer bir şekilde, bir küpün veya başka bir kutunun karşıt yüzlerini yapıştırarak üç boyutlu düz torus inşa edebilirsiniz. Bu uzayı, sıradan sonsuz uzay gibi görselleştiremiyoruz –kısaca, uyuşmamaktalar– fakat soyut bir şekilde içindeki yaşamı hayal edebiliriz.

İki boyutlu torus içerisindeki yaşam, özdeş olan sonsuz sayıda dörtgen odalar serisinde yaşamaya benzediği gibi üç boyutlu torus içerisindeki yaşam sonsuz sayıda özdeş kübik odanın içinde yaşamaya benzer [Şekil 10]. Kendinizin sonsuz sayıda kopyasını görebilirsiniz:

Şekil 10. Animasyon: Üç boyutlu torus üzerindeki yaşam, sonsuz sayıda özdeş odalar dizisinde yaşamaya benzeyecektir. 

Üç boyutlu torus, 10 farklı düzlemsel sonlu dünyadan biridir. Ayrıca sonsuz bir silindirin üç boyutlu analoğuna benzer sonsuz sayıda düzlemsel sonsuz dünya mevcuttur. Bu dünyaların her birinde farklı ayna efekti dizileri bulunmaktadır.

EVRENİMİZ BU DÜZLEMSEL ŞEKİLLERDEN BİRİSİ MİDİR?

Uzaya baktığımız zaman, kendimizin sonsuz sayıda kopyasını görememekteyiz. Yine de düzlemsel şekilleri göz ardı etmemiz beklediğinizden daha zordur. Öncelikle Öklid uzayı ile aynı yerel geometriye sahiplerdir, bu nedenle hiçbir yerel (local) ölçüm ile ayrım yapılamamaktadır.

Eğer kendinizin bir kopyasını görürseniz, bu uzak görüntü sizin (diğer bir örnek olarak, galaksinizin) geçmişte nasıl göründüğünüzü gösterir, bunun nedeni ışığın size ulaşması için uzun süre seyahat edecek olmasıdır. Belki de dışarıda, gökyüzünde, kendimizin tanınmaz kopyalarını görmekteyiz. Daha da kötüsü, kendinizin farklı kopyaları sizden farklı uzaklıklarda olacaktır, dolayısıyla bunların birçoğu birbirinden farklı gözükecektir. Belki de göremeyeceğimiz kadar uzakta bulunmaktalar.

Bu zorlukların üstesinden gelebilmek için gökbilimciler kendi kopyalarımıza bakmak yerine en uzak yerlerdeki tekrarlara bakmaktadırlar: kozmik mikrodalga arkaplanı (CMB – cosmic microwave background) [1] ışınımı (radiation) Büyük Patlama’dan (the Big Bang) hemen sonra ortaya çıkmıştır. Uygulamada bu, CMB üzerinden sıcak ve soğuk noktaların eşlendiği daire çiftlerini araştırmak anlamına gelmektedir ve bu da iki farklı yönden görünen aynı daireler olduğu anlamına geliyor [Şekil 11].

Şekil 11. ESA, Planck Collaboration.

2015 yılında gökbilimciler Planck Uzay Teleskobu üzerinden gelen verilerle böyle bir araştırma gerçekleştirdiler. [2] Eşleşen dairelerden gelen verileri tarayarak üç boyutlu torus veya levha (slab) da denilen diğer bir düz üç boyutlu yapının içini gözlemleyeceklerini düşündüler, ancak bunları gözlemekte başarısız oldular. Bu demektir ki, eğer bir torusun içinde yaşıyorsak bu torus o kadar büyüktür ki, tekrarlanan desenler gözlemlenebilir evrenin de ötesinde bulunmaktadır.


Bir sonraki yazıda evrenin küresel ve hiperbolik geometriye uygun olduğu durumlarda ne yapıda olacağını, bizi nelerin beklediğini irdeleyeceğiz.

Yazar: Erica Klarreich

Grafik Editörü: Lucy Reading-Ikkanda/ Quanta Magazine

Kaynak: Quanta Magazine, What Is the Geometry of the Universe?, 16 Mart 2020, https://www.quantamagazine.org/what-is-the-geometry-of-the-universe-2020...

Dipnotlar

[1] Charlie Wood (28 Ocak 2020), How Ancient Light Reveals the Universe’s Contents, Quanta Magazine https://www.quantamagazine.org/how-the-cosmic-microwave-background-revea...

[2] Planck Collaboration (2016), Planck 2015 results. XVIII. Background geometry and topology of the Universe, As tronomy & Astrophysics https://arxiv.org/abs/1502.01593

Kaynak: https://haber.sol.org.tr/bilim/evrenimizin-geometrisi-nedir-1-284085

Pin It